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数学小知识

作者: 来源: 时间:2011年02月18日 点击: 字体:
1.祖冲之和圆周率
 
祖冲之不但精通天文、历法,他在数学方面的贡献,特别对“圆周率”研究的杰出成就,更是超越前代,在世界数学史上放射着异彩。
我们都知道圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比,这个比值是一个常数,现在通用希腊字母“π”来表示。圆周率是一个永远除不尽的无穷小数,它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数学的进步,已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率。
圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面,凡牵涉到圆的一切问题,都要使用圆周率来推算。我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“3”,这当然很不精密,但一直被沿用到西汉。后来,随着天文、数学等科学的发展,研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值,他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周率为**=3.1622。这些数值比起π=3当然有了很大的进步,但是还远远不够精密。到了三国末年,数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法,圆周率的研究才获得了重大的进展。
用割圆术来求圆周率的方法,大致是这样:先作一个圆,再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2,那末半径就等于1。内接正六边形的一边一定等于半径,所以也等于1;它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长,用直径2去除,得到周长与直径的比π=6/2=3,这就是古代π=3的数值。但是这个数值是不正确的,我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。
如果我们把内接正六边形的边数加倍,改为内接正十二边形,再用适当方法求出它的周长,那么我们就可以看出,这个周长比内按正六边形的周长更接近圆的周长,这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论:圆内所做的内接正多边形的边数越多,它各边相加的总长度(周长)和圆周周长之间的差额就越小。从理论上来讲,如果内接正多边形的边数增加到无限多时,那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起,从此计算出来的内接无限正多边形的面积,也就和圆面积相等了。不过事实上,我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多,而使这无限正多边形的周界同圆周重合。只能有限度地增加内接正多边形的边数,使它的周界和圆周接近重合。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率,得数永远稍小于π的真实数值。刘徽就是根据这个道理,从圆内接正六边形开始,逐次加倍地增加边数,一直计算到内接正九十六边形为止,求得了圆周率是3.141O24。把这个数化为分数,就是157/50
刘徽所求得的圆周率,后来被称为“徽率”。他这种计算方法,实际上已具备了近代数学中的极限概念。这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就。
祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书·律历志》的记载,祖冲之把一丈化为一亿忽,以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数(即过剩的近似值),为3.1415927;一个是朒数(即不足的近似值),为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记载,没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过从当时的数学水平来看,除刘徽的割圆术外,还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法,把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时,便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。
盈朒两数可以列成不等式,如:3.1415926(*)<π(真实的圆周率)<3.1415927(盈),这表明圆周率应在盈朒两数之间。按照当时计算都用分数的习惯,祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/119(约等于3.1415927),这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”。另一个是了(约等于3.14),这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它为“约率”。在欧洲,直到1573年才由德国数学家渥脱求出了355/119这个数值。因此,日本数学家三上义夫曾建议把355/119这个圆周率数值称为“祖率”,来纪念这位中国的大数学家。
 
2.牛顿和微积分
 
大多数现代历史学家都相信,牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学,并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述,牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法,但在1693年以前他几乎没有发表任何内容,并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间,莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外,莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用,在大约1820年以后,英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程,而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学,是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒(NicolasFatiodeDuillier)的联系十分密切,后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年,丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》,但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过,在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候,丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。
 
在1699年初,皇家学会(牛顿也是其中的一员)的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果,争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布,一项调查表明了牛顿才是真正的发现者,而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来,发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写,因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战,并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活,直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟,并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。
 
3.欧几里德与《几何原本》
 
关于他的生平,现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右,在托勒密王(公元前364~前283)的邀请下,来到亚历山大,长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家,对有志数学之士,总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风,也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯(约410~485)记载,托勒密王曾经问欧几里得,除了他的《几何原本》之外,还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说:“几何无王者之路。”意思是,在几何里,没有专为国王铺设的大道。这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯(约500)记述了另一则故事,说一个学生才开始学第一个命题,就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说:给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利。
欧几里得生于雅典,是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的,在这里,他建立了以他为首的数学学派。
欧几里得,以他的主要著作《几何原本》而著称于世,他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结,以严密的演绎逻辑,把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。
欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整,就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。
爱因斯坦说:“一个人当他最初接触欧几里得几何学时,如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动,那么他是不会成为一个科学家的。”
《几何原本》中的数学内容也许没有多少为他所创,但是关于公理的选择,定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳,在这方面,他的工作出色无比。
欧几里得的《几何原本》共有13篇,首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。
他整理的5条公理其中包括:
1.从一点到另一任意点作直线是可能的;
2.所有的直角都相等;
3.a=b,b=c,则a=c;
4.若a=b则a+c=b+c等等。
这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的,即:整体大于部分。
虽然这条公理不像别的公理那么一望便知,不那么容易为人接受,但这是欧氏几何中必须的,必不可少的。他能提出来,这恰恰显示了他的天才。
《几何原本》第1~4篇主要讲多边形和圆的基本性质,像全等多边形的定理,平行线定理,勾股弦定理等。
第2篇讲几何代数,用几何线段来代替数,这就解决了希腊人不承认无理数的矛盾,因为有些无理数可以用作图的方法,来把它们表示出来。
第3篇讨论圆的性质,如弦、切线、割线,圆心角等。
第4篇讨论圆的内接和外接图形。
第5篇是比例论。这一篇对以后数学发展史有重大关系。
第6篇讲的是相似形。其中有一个命题是:直角三角形斜边上的矩形,其面积等于两直角边上的两个与这相似的矩形面积之和。读者不妨一试。
第7、8、9篇是数论,即讲述整数和整数之比的性质。
第10篇是对无理数进行分类。
第11~13篇讲的是立体几何。
全部13篇共包含有467个命题。《几何原本》的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态,在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。
欧几里得,这位亚历山大大学的数学教授,已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。
他又运用他的惊人才智,指挥灵巧的手指将这个图案拆开,分成为简单的组成部分:点、线、角、平面、立体——把一幅无边无垠的图,译成初等数学的有限语言。
尽管欧几里得简化了他的几何学,但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究,以便他的学生们能充分理解它。
据说,亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何,有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。
国王问道:“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径?”
欧几里得答道:“陛下,乡下有两种道路,一条是供老百姓走的难走的小路,一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里,大家只能走同一条路。走向学问,是没有什么皇家大道的,请陛下明白。”
欧几里得的这番话后来推广为“求知无坦途”,成为传诵千古的箴言。
关于欧几里得的一生的细节,由于资料缺乏,我们知道得很少。有一个故事说的是欧几里得和妻子吵架,妻子很为恼火。
妻子说:“收起你的乱七八糟的儿何图形,它难道为你带来了面包和牛肉。”
欧几里得天生是个憨脾气,只是笑了笑,说道:“妇人之见,你知道吗?我现在所写的,到后世将价值连城!”
妻子嘲笑道:“难道让我们来世再结合在一起吗?你这书呆子。”
欧几里得刚要分辩,只见妻子拿起他写的《几何原本》的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢,可是已经来不及了。
据说妻子烧掉的是《几何原本》中最后最精彩的一章。但这个遗憾是无法弥补的,她烧的不仅仅是一些有用的书,她烧的是欧几里得血汗和智慧的结晶。
如果上面这个故事是真的,那么他妻子的那场震怒可能并不是欧几里得引起来的。因为古代的作家们告诉我们,他是一个“温和慈祥的老头。”
由于欧几里得知识的渊博,他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时,像一个真正的父亲那样引导他们,关心他们。
然而有时,他也用辛辣的讽刺来鞭挞学生中比较傲慢的,使他们驯服。有一个学生在学习了第一定理之后,便问道:“学习几何,究竟会有什么好处?”
于是,欧几里得转身吩咐佣人说:“格鲁米阿,拿三个钱币给这位先生,因为他想在学习中获得实利。”
欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研,不赞成投机取巧的作风,更反对狭隘的实用观念。后来者帕波斯就特别赞赏他这谦逊的品德。
像古希腊的大多数学者一样,欧几里德对于他的科学研究的“实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。
他羞怯谦恭,与世无争,平静地生活在自己的家里。在那个到处充满勾心斗角的世界里,对于人们吵吵闹闹所作出的俗不可耐的表演,则听之任之。
他说:“这些浮光掠影的东西终究会过去,但是,星罗棋布的天体图案,却是永恒地岿然不动。”
欧几里得除了写作重要几何学巨著《几何原本》外,还著有《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等著作。

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